全国服务热线:0898-08980898
联系我们 contact us
地址:
海南省海口市
邮箱:
admin@youweb.com
电话:
0898-08980898
传真:
1234-0000-5678
行业新闻 当前位置: 首页 > 傲世皇朝新闻 > 行业新闻
优化算法(一)添加时间:2024-08-12

1.1 为什么需要学习优化算法?

优化算法能够帮助你快速训练模型。机器学习的应用是一个高度依赖经验的过程,伴随着大量迭代的过程,你需要训练诸多模型,才能找到合适的那一个,所以,优化算法能够帮助你快速训练模型。

使用好用的优化算法能够大大提高你和团队的效率。深度学习没有在大数据领域发挥最大的效果,我们可以利用一个巨大的数据集来训练神经网络,而在巨大的数据集基础上进行训练速度很慢。因此,你会发现,使用快速的优化算法,使用好用的优化算法能够大大提高你和团队的效率.

1.2 什么是 mini-batch 梯度下降法?

在模型训练中,我们要把训练样本放到巨大的矩阵𝑋当中去,𝑋 = [𝑥(1) ,𝑥(2), 𝑥(3) … … 𝑥(𝑚)]。

𝑌也是如此,𝑌 = [𝑦(1) 𝑦(2) 𝑦(3) … … 𝑦(𝑚)]。

所以𝑋的维数是(𝑛𝑥, 𝑚),𝑌的维数是(1, 𝑚),向量化能够较快地处理所有𝑚个样本。如果𝑚很大的话,处理速度仍然缓慢。比如说,如果𝑚是 500 万或 5000 万或者更大的一个数,在对整个训练集执行梯度下降法时,必须处理整个训练集,然后才能进行一步梯度下降法,然后再重新处理 500 万个训练样本,才能进行下一步梯度下降法。如果在处理完整个 500 万个样本的训练集之前,先让梯度下降法处理一部分,算法速度会更快。

你可以把训练集分割为小一点的子集训练,这些子集被取名为 mini-batch,假设每一个子集中只有 1000 个样本,那么把其中的𝑥(1)到𝑥(1000)取出来,将其称为第一个子训练集,也叫做 mini-batch,然后你再取出接下来的 1000 个样本,从𝑥(1001)到𝑥(2000),然后再取 1000个样本,以此类推。

接下来说一个新的符号,把𝑥(1)到𝑥(1000)称为𝑋{1},𝑥(1001)到𝑥(2000)称为𝑋{2},如果你的训练样本一共有 500 万个,每个 mini-batch 都有 1000 个样本,也就是说,你有 5000 个mini-batch,因为 5000 乘以 1000 就是 5000 万。

你共有 5000 个 mini-batch,所以最后得到是𝑋{5000}

对𝑌也要进行相同处理,你也要相应地拆分𝑌的训练集,所以这是𝑌{1},然后从𝑦(1001)到 𝑦(2000),这个叫𝑌{2},一直到𝑌{5000}。

mini-batch的数量𝑡组成了𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡},这就是1000个训练样本,包含相应的输入输出对。

在继续课程之前,先确定一下符号,之前我们使用了上角小括号(𝑖)表示训练集里的值,所以𝑥(𝑖)是第𝑖个训练样本。我们用了上角中括号[𝑙]来表示神经网络的层数,𝑧[𝑙]表示神经网络中第𝑙层的𝑧值,我们现在引入了大括号𝑡来代表不同的mini-batch,所以我们有𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡},检查一下自己是否理解无误。

𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡}的维数:如果𝑋{1}是一个有 1000 个样本的训练集,或者说是 1000 个样本的𝑥值,所以维数应该是(𝑛𝑥,1000),𝑋{2}的维数应该是(𝑛𝑥, 1000),以此类推。因此所有的子集维数都是(𝑛𝑥, 1000),而这些(𝑌{𝑡})的维数都是(1,1000)。

解释一下这个算法的名称。

batch 梯度下降法指的是我们之前讲过的梯度下降法算法,就是同时处理整个训练集,这个名字就是来源于能够同时看到整个 batch 训练集的样本被处理。

mini-batch 梯度下降法,指的是我们每次同时处理的单个的 mini-batch 𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡},而不是同时处理全部的𝑋和𝑌训练集。

那么究竟 mini-batch 梯度下降法的原理是什么?在训练集上运行 mini-batch 梯度下降法,你运行 for t=1……5000,因为我们有 5000 个各有 1000 个样本的组,在 for 循环里你要做的基本就是对𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡}执行一步梯度下降法。假设你有一个拥有1000个样本的训练集,而且假设你已经很熟悉一次性处理完的方法,你要用向量化去几乎同时处理 1000 个样本。

首先对输入也就是𝑋{𝑡},执行前向传播,然后执行𝑧[1] = 𝑊[1]𝑋 + 𝑏[1],之前我们这里只有,但是现在你正在处理整个训练集,你在处理第一个 mini-batch,在处理 mini-batch 时它变成了𝑋{𝑡},即𝑧[1] = 𝑊[1]𝑋{𝑡} + 𝑏[1],然后执行𝐴[1]𝑘 = 𝑔1,之所以用大写的𝑍是因为这是一个向量内涵,以此类推,直到𝐴[𝐿] = 𝑔𝐿,这就是你的预测值。注意这里你需要用到一个向量化的执行命令,这个向量化的执行命令,一次性处理 1000 个而不是 500 万个样本。

在这里插入图片描述
这是使用 mini-batch 梯度下降法训练样本的一步,也可被称为进行“一代” (1 epoch)的训练。一代这个词意味着只是一次遍历了训练集。

使用 batch 梯度下降法,一次遍历训练集只能让你做一个梯度下降,使用 mini-batch 梯度下降法,一次遍历训练集,能让你做 5000 个梯度下降。

如果你有一个训练集,mini-batch 梯度下降法比 batch 梯度下降法运行地更快,所以几乎每个研习深度学习的人在训练巨大的数据集时都会用到。

1.3 理解 mini-batch 梯度下降法(Understanding mini-batchgradient descent)

在这里插入图片描述
使用 batch 梯度下降法时,每次迭代都需要历遍整个训练集 ,可以预期每次迭代成本都会下降,所以如果成本函数𝐽是迭代次数的一个函数,它应该会随着每次迭代而减少,如果𝐽在某次迭代中增加了,那肯定出了问题,也许是因为学习率太大。

使用 mini-batch 梯度下降法,如果你作出成本函数在整个过程中的图,则并不是每次迭代都是下降的,特别是在每次迭代中,你要处理的是𝑋{𝑡}和𝑌{𝑡},如果要作出成本函数𝐽{𝑡}的图,而𝐽{𝑡}只和𝑋{𝑡},𝑌{𝑡}有关,也就是每次迭代下你都在训练不同的样本集或者说训练不同的 mini-batch,如果你要作出成本函数𝐽的图,你很可能会看到这样的结果,走向朝下,但有更多的噪声,所以如果你作出𝐽{𝑡}的图,因为在训练 mini-batch 梯度下降法时,会经过多代,你可能会看到这样的曲线(上图右部分)。

没有每次迭代都下降是不要紧的,但走势应该向下,噪声产生的原因在于也许𝑋{1}和𝑌{1}是比较容易计算的 mini-batch,因此成本会低一些。不过也许出于偶然,𝑋{2}和𝑌{2}是比较难运算的 mini-batch,或许需要一些残缺的样本,这样一来,成本会更高一些,所以才会出现这些摆动,因为是在运行 mini-batch 梯度下降法作出成本函数图。

需要决定的变量之一是 mini-batch 的大小,𝑚就是训练集的大小,极端情况下:

如果 mini-batch 的大小等于𝑚,其实就是 batch 梯度下降法,在这种极端情况下,就有了 mini-batch 𝑋{1}和𝑌{1},并且该 mini-batch 等于整个训练集,所以把 mini-batch 大小设为𝑚可以得到 batch 梯度下降法。

另一个极端情况,假设 mini-batch 大小为 1,就有了新的算法,叫做随机梯度下降法,每个样本都是独立的 mini-batch,当你看第一个 mini-batch,也就是𝑋{1}和𝑌{1},如果 mini-batch 大小为 1,它就是第一个训练样本。接着再看第二个 mini-batch,也就是第二个训练样本,采取梯度下降步骤,然后是第三个训练样本,以此类推,一次只处理一个。
在这里插入图片描述
看在两种极端下成本函数的优化情况,如果这是你想要最小化的成本函数的轮廓,最小值在中心点,batch 梯度下降法从某处开始,相对噪声低些,幅度也大一些。

相反,在随机梯度下降法中,从某一点开始,我们重新选取一个起始点,每次迭代,你只对一个样本进行梯度下降,大部分时候你向着全局最小值靠近,有时候你会远离最小值,因为那个样本恰好给你指的方向不对,因此随机梯度下降法是有很多噪声的,平均来看,它最终会靠近最小值,不过有时候也会方向错误随机梯度下降法永远不会收敛,而是会一直在最小值附近波动,但它并不会在达到最小值并停留在此

实际上选择的 mini-batch 大小在二者之间,大小在 1 和𝑚之间,而 1 太小了,𝑚太大了,原因在于如果使用 batch 梯度下降法,mini-batch 的大小为𝑚,每个迭代需要处理大量训练样本,该算法的主要弊端在于特别是在训练样本数量巨大的时候,单次迭代耗时太长 。如果训练样本不大,batch 梯度下降法运行地很好。

相反,如果使用随机梯度下降法 ,如果你只要处理一个样本,那这个方法很好,这样做没有问题,通过减小学习率,噪声会被改善或有所减小 ,但随机梯度下降法的一大缺点是,会失去所有向量化带给你的加速 ,因为一次性只处理了一个训练样本,这样效率过于低下,所以实践中最好选择不大不小的 mini-batch 尺寸,使学习率达到最快。

合适的mini-batch会有两个好处。一方面,你得到了大量向量化 ,如果 mini-batch 大小为1000 个样本,你就可以对 1000 个样本向量化,比你一次性处理多个样本快得多。另一方面,你不需要等待整个训练集被处理完就可以开始进行后续工作 ,每次训练集允许我们采取 5000 个梯度下降步骤,所以实际上一些位于中间的 mini-batch 大小效果最好。
在这里插入图片描述
用 mini-batch 梯度下降法,从这里开始(绿线),一次迭代这样做,两次,三次,四次,它不会总朝向最小值靠近,但它比随机梯度下降要更持续地靠近最小值的方向,它也不一定在很小的范围内收敛,如果出现波动问题,可以慢慢减少学习率。

1.4 设置mini-batch的指导原则

如果 mini-batch 大小既不是 1 也不是𝑚,应该取中间值,那应该怎么选择呢?其实是有指导原则的。

首先,如果训练集较小,直接使用 batch 梯度下降法。样本集较小就没必要使用 mini-batch 梯度下降法,你可以快速处理整个训练集,所以使用 batch 梯度下降法也很好,这里的少是说小于 2000 个样本,这样比较适合使用 batch 梯度下降法。不然,样本数目较大的话,一般的 mini-batch 大小为 64 到 512,考虑到电脑内存设置和使用的方式,如果 minibatch 大小是 2 的𝑛次方,代码会运行地快一些。64 到 512 的 mini-batch 比较常见。

事实上 mini-batch 大小是另一个重要的变量,你需要做一个快速尝试,才能找到能够最有效地减少成本函数的那个,我一般会尝试几个不同的值,几个不同的 2 次方,然后看能否找到一个让梯度下降优化算法最高效的大小。希望这些能够指导你如何开始找到这一数值。

2.1 指数加权平均数的原理

有几个优化算法,它们比梯度下降法快,要理解这些算法,你需要用到指数加权平均,在统计中也叫做指数加权移动平均,我们首先学习指数加权平均,然后再来讲更复杂的优化算法。
在这里插入图片描述
以上是一年内的气温散点图。你用数据作图,可起始日在 1 月份,中间是夏季初,尾部是年末,相当于 12 月末。
在这里插入图片描述
起始时间是 1 月 1 号,年中接近夏季的时候,随后就是年末的数据,看起来有些杂乱,如果要计算趋势的话,也就是温度的局部平均值,或者说移动平均值。
在这里插入图片描述
你要做的是,首先使𝑣0 = 0,每天,需要使用 0.9 的加权数之前的数值加上当日温度的0.1 倍,即𝑣1 = 0.9𝑣0 + 0.1𝜃1,所以这里是第一天的温度值。

第二天,又可以获得一个加权平均数,0.9 乘以之前的值加上当日的温度 0.1 倍,即𝑣2 = 0.9𝑣1 + 0.1𝜃2,以此类推。

第二天值加上第三日数据的 0.1,如此往下。大体公式就是某天的𝑣等于前一天𝑣值的 0.9加上当日温度的 0.1。

如此计算,然后用红线作图的话,便得到这样的结果。
在这里插入图片描述
你得到了移动平均值,每日温度的指数加权平均值。

𝑣𝑡 = 0.9𝑣𝑡?1+0.1𝜃𝑡,我们把 0.9 这个常数变成𝛽,将之前的 0.1 变成(1 ? 𝛽),即𝑣𝑡 = 𝛽𝑣𝑡?1 + (1 ? 𝛽)𝜃𝑡

由于以后我们要考虑的原因,在计算时可视𝑣𝑡大概是 1/ (1?𝛽)的每日温度,如果𝛽是 0.9,你会想,这是十天的平均值,也就是红线部分。

我们来试试别的,将𝛽设置为接近 1 的一个值,比如 0.98,计算1/(1?0.98) = 50,这就是粗略平均了一下,过去 50 天的温度,这时作图可以得到绿线。
在这里插入图片描述
这个高值𝛽要注意几点,得到的曲线要平坦一些,原因在于多平均了几天的温度,所以这个曲线,波动更小,更加平坦,缺点是曲线进一步右移,因为现在平均的温度值更多,要平均更多的值,指数加权平均公式在温度变化时,适应地更缓慢一些,所以会出现一定延迟,因为当𝛽 = 0.98,相当于给前一天的值加了太多权重,只有 0.02 的权重给了当日的值,所以温度变化时,温度上下起伏,当𝛽 较大时,指数加权平均值适应地更缓慢一些。

我们可以再换一个值试一试,如果𝛽是另一个极端值,比如说 0.5,根据右边的公式( 1/ (1?𝛽)),这是平均了两天的温度。

作图运行后得到黄线。
在这里插入图片描述
由于仅平均了两天的温度,平均的数据太少,所以得到的曲线有更多的噪声,有可能出现异常值,但是这个曲线能够更快适应温度变化。

所以指数加权平均数经常被使用。通过调整这个参数(𝛽),我们会发现这是一个很重要的参数,可以取得稍微不同的效果,往往中间有某个值效果最好,𝛽为中间值时得到的红色曲线,比起绿线和黄线更好地平均了温度。

10.2.2 指数加权平均数的本质

回忆一下这个计算指数加权平均数的关键方程。
在这里插入图片描述
𝛽 = 0.9的时候,得到的结果是红线,如果它更接近于 1,比如 0.98,结果就是绿线,如果𝛽小一点,如果是 0.5,结果就是黄线。
在这里插入图片描述
我们进一步地分析,来理解如何计算出每日温度的平均值。

使𝛽 = 0.9,写下相应的几个公式,所以在执行的时候,𝑡从 0 到 1 到 2 到 3,𝑡的值在不断增加,为了更好地分析,t的顺序逆序写。
在这里插入图片描述
所以这是一个加和并平均,100 号数据,也就是当日温度。我们分析𝑣100的组成,也就是在一年第 100 天计算的数据,但是这个是总和,包括 100 号数据,99 号数据,97 号数据等等。画图的一个办法是,假设我们有一些日期的温度,所以这是数据,这是𝑡,所以 100 号数据有个数值,99 号数据有个数值,98 号数据等等,𝑡为 100,99,98 等等,这就是数日的温度数值。

然后我们构建一个指数衰减函数,从 0.1 开始,到0.1 × 0.9,到0.1 × (0.9)2,以此类推,这是一个指数衰减函数。

计算𝑣100是通过,把两个函数对应的元素,然后求和,用这个数值100号数据值乘以0.1,99 号数据值乘以 0.1 乘以(0.9)2,这是第二项,以此类推,所以选取的是每日温度,将其与指数衰减函数相乘,然后求和,就得到了𝑣100。
在这里插入图片描述
又因此当𝛽 = 0.9的时候,我们说仿佛你在计算一个指数加权平均数,只关注了过去 10天的温度,因为 10 天后,权重下降到不到当日权重的三分之一。

相反,如果,那么 0.98 需要多少次方才能达到这么小的数值?(0.98)^50大约等于1/𝑒,所以前 50 天这个数值比1/𝑒大,数值会快速衰减,所以本质上这是一个下降幅度很大的函数,可以看作平均了 50 天的温度。因为在例子中,要代入等式的左边,𝜀 = 0.02,所以1/𝜀为 50,我们由此得到公式,我们平均了大约 1 /(1?𝛽)天的温度,这里𝜀代替了1 ? 𝛽,也就是说根据一些常数,能大概知道能够平均多少日的温度,不过这只是思考的大致方向,并不是正式的数学证明。

最后讲讲如何在实际中执行,还记得吗?我们一开始将𝑣0设置为 0,然后计算第一天𝑣1,然后𝑣2,以此类推。

现在解释一下算法,可以将𝑣0,𝑣1,𝑣2等等写成明确的变量,不过在实际中执行的话,你要做的是,一开始将𝑣初始化为 0,然后在第一天使𝑣: = 𝛽𝑣 + (1 ? 𝛽)𝜃1,然后第二天,更新𝑣值,𝑣: = 𝛽𝑣 + (1 ? 𝛽)𝜃2,以此类推,有些人会把𝑣加下标,来表示𝑣是用来计算数据的指数加权平均数。

再说一次,但是换个说法,𝑣𝜃0 = 0,然后每一天,拿到第𝑡天的数据,把𝑣更新为𝑣: = 𝛽𝑣𝜃 + (1 ? 𝛽)𝜃𝑡。

10.2.3 指数加权平均的好处

指数加权平均数公式的好处之一在于,它占用极少内存,电脑内存中只占用一行数字而已,然后把最新数据代入公式,不断覆盖就可以了,正因为这个原因,它基本上只占用一行代码,计算指数加权平均数也只占用单行数字的存储和内存,当然它并不是最好的,也不是最精准的计算平均数的方法。如果你要计算移动窗,你直接算出过去 10 天的总和,过去 50 天的总和,除以 10 和 50 就好,如此往往会得到更好的估测。但缺点是,如果保存所有最近的温度数据,和过去 10 天的总和,必须占用更多的内存,执行更加复杂,计算成本也更加高昂。

所以在接下来的课程中,我们会计算多个变量的平均值,从计算和内存效率来说,这是一个有效的方法,所以在机器学习中会经常使用,更不用说只要一行代码,这也是一个优势。

10.2.4 指数加权平均的偏差修正

我们学过了如何计算指数加权平均数,有一个技术名词叫做偏差修正,可以让平均数运算更加准确,来看看它是怎么运行的。
在这里插入图片描述
这个(红色)曲线对应𝛽的值为 0.9,这个(绿色)曲线对应的𝛽=0.98,如果你执行写在这里的公式,在𝛽等于 0.98 的时候,得到的并不是绿色曲线,而是紫色曲线,你可以注意到紫色曲线的起点较低,我们来看看怎么处理。

计算移动平均数的时候,初始化𝑣0 = 0,𝑣1 = 0.98𝑣0 +0 .02𝜃1,但是𝑣0 = 0,所以这部分没有了(0.98𝑣0),所以𝑣1 = 0.02𝜃1,所以如果一天温度是 40 华氏度,那么𝑣1 = 0.02𝜃1 = 0.02 × 40 = 8,因此得到的值会小很多,所以第一天温度的估测不准。

𝑣2 = 0.98𝑣1 +0.02𝜃2,如果代入𝑣1,然后相乘,所以𝑣2 = 0.98 × 0.02𝜃1 + 0.02𝜃2 = 0.0196𝜃1 + 0.02𝜃2,假设𝜃1和𝜃2都是正数,计算后𝑣2要远小于𝜃1和𝜃2,所以𝑣2不能很好估测出这一年前两天的温度。
在这里插入图片描述

了偏差。你会发现随着𝑡增加,𝛽𝑡接近于 0,所以当𝑡很大的时候,偏差修正几乎没有作用,因此当𝑡较大的时候,紫线基本和绿线重合了。不过在开始学习阶段,偏差修正可以更好预测温度,偏差修正可以使结果从紫线变成绿线。

在机器学习中,在计算指数加权平均数的大部分时候,大家不在乎执行偏差修正,因为大部分人宁愿熬过初始时期,拿到具有偏差的估测,然后继续计算下去。如果关心初始时期的偏差,在刚开始计算指数加权移动平均数的时候,偏差修正能在早期获取更好的估测。

平台注册入口